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设A、B均为n阶方阵，A有n个互异的特征值，且AB=BA，证明:B相似于对角矩阵.

问答题

2022-01-10 00:24

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正确答案

设矩阵A的n个不同特征值为

,则存在可逆矩阵P,使

由AB=BA得
(P^-1AP)(P^-1BP)=P^-1APP^-1BP=P^-1ABP=P^-1BAP=(P^-1BP)(P^-1AP)
令

,则有

比较两边元素则有

.
当

时,有

.由上式得

,即

.故

试题解析

标签：考研公共课数学

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设A、B都是满秩的n阶方阵，则r（AB）＝（　　）。

设A、B均为n阶方阵，A有n个互异的特征值，且AB＝BA，证明：B相似于对角矩阵。

设A、B均为n阶方阵，A有n个互异的特征值，且AB=BA，证明:B相似于对角矩阵.

设A为n阶方阵，若对任意n×m（m≥n）矩阵B都有AB＝0，则A＝（　　）。

设A，B是n阶方阵，且AB=O．则下列等式成立的是（）．

设A、B、C均为n阶方阵，若A＝CTBC，且|B|＜0，则|A|____。

设A，N，A+B，A-1+B-1均为n阶可逆矩阵，则（A-1+B-1）=（）。

设A、B、C均为n阶方阵，若A＝CTBC，且|B|＜0，则|A|（　　）。

设A、B、C均为n阶方阵，若A＝CTBC，且|B|＜0，则|A|＝（　　）。

设A、B、C均为n阶方阵，若A＝CTBC，且|B|＜0，则|A|＝（　　）。

A为m阶方阵，B为n阶方阵，且|A|＝a，|B|＝b，，则|C|＝____。

A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使AB=BA=A，则_________。

相关题目: 设 A,B,C 均为 n 阶方阵,AB=BA,AC=CA,则 ABC=( ); 设 A、 B为 n阶方阵，且 A与 B等价， | A |=0 ，则 r(B); 设A , B , C均为n阶方阵，AB=BA，AC=CA，则ABC=（）; 15.设A,B,C均为n阶方阵，AB=BA,AC=CA,则ABC=（）; 设A是n阶方阵,且|5A+3E|=0,则A必有一个特征值为( ); n阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角矩阵相似的（）; 若A,B都是n阶方阵，则|AB|=|BA|( ); 设n阶方阵A的有n个不同的特征值，则方阵A有n个线性无关的特征向量; n阶方阵A具有n个不同的特征值是与对角矩阵相似的( ); n阶方阵A有n个不同特征值是A与对角阵相似的; 设A,B是n阶方阵，A非零，且AB=0，则必有（）; 设A,B都是n阶方阵，若有n阶可逆矩阵P,使P^-1AP=B,则称矩阵A和B相似，记为A~B。对A进行运算P^-1AP称为对A进行相似变换，可逆矩阵P称为把A 变成B的（）; 设 n阶方阵具有 n个不同的特征值是 A与对角阵相似的( ); 设A、B均为n阶可逆矩阵,且C=(0 A B 0),则C-1是( ); 设A,B是n阶矩阵, 则AB=BA ( ); 设A，B是n阶方阵，且AB=O．则下列等式成立的是（）．; 设A、B都是n阶方阵，且(AB)2=E，则必有; 设A，B是n阶方阵（n≥2），则必有（）。; 设A、B都是满秩的n阶方阵，则r（AB）＝（　　）。; 设A、B都是满秩的n阶方阵，则r（AB）＝（　　）。

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