设向量β可由向量组α1，α2，…，αr线性表示，但不能由向量组α1，α2，…，αr-1线性表示.证明：（1）αr不能由向量组α1，α2，…，αr-1线性表示；（2）αr能由α1，α2，…，αr，β线性表示.
查看答案
正确答案
(1)反证法
可设α
r能由向量组α
1,α
2,…,α
r-1线性表示,即α
r=k
1α
1+k
2α
2+…+k
r-1α
r-1.由向量β可由向量组α
1,α
2,…,α
r线性表示,有β=l
1α
1+l
2α
2+…+l
r-1α
r-1+l
rα
r.所以有
β=(l
1+l
rk
1)α
1+(l
2+l
rk
2)α
2+…+(l
r-1+l
rkl
r-1)α
r-1,即β可由向量组α
1,α
2,…,α
r-1线性表示,这与已知条件相矛盾,故α
r不能由向量组α
1,α
2,…,α
r-1线性表示.
(2)由β=l
1α
1+l
2α
2+…+l
r-1α
r-1+l
rα
r和β不能由向量组α
1,α
2,…,α
r-1线性表示,可知l
r≠0,故
,即α
r可由向量组α
1,α
2,…,α
r-1线性表示.
试题解析
