物体自空中落下的过程中,受到自身重力和空气对其产生的阻力,则由牛顿第二定律得md²s/dt²=mg-kds/dt,即d²s/dt²+(k/m)(ds/dt)=g。
对应的齐次方程d²s/dt²+(k/m)(ds/dt)=0的特征方程为r²+kr/m=0。
解得特征根为r₁=0,r₂=-k/m。
则对应齐次方程的通解为s(t)=C₁+C₂e^-kt/m。
设s^*(t)=At为非齐次方程d²s/dt²+(k/m)(ds/dt)=g的特解,将其代入方程得s^*(t)=mgt/k。
则方程d²s/dt²+(k/m)(ds/dt)=g的通解为s(t)=C₁+C₂e^-kt/m+mgt/k。
由s(0)=s′(0)=0得C₁=-m²g/k²,C₂=m²g/k²,则物体运动的路程与时间的函数关系为s=(e^-kt/m-1)m²g/k²+mgt/k。