1.由于高级人民法院作为一审的上一级法院，故高级人民法院应当依第二审审判程序对该案进行审理。《刑事诉讼法解释》第330条规定：“第二审人民法院审理对刑事部分提出上诉、抗诉，附带民事部分已经发生法律效力的案件，发现第一审判决、裁定中的附带民事部分确有错误的，应当依照审判监督程序对附带民事部分予以纠正。”
2.最高人民法院《关于对被判处死刑的被告人未提出上诉、共同犯罪的部分被告人或者附带民事诉讼原告人提出上诉的案件应适用何种程序审理的批复》规定，中级人民法院一审判处死刑的案件，被判处死刑的被告人未提出上诉，仅附带民事诉讼原告人提出上诉的，高级人民法院应当适用第二审程序对附带民事诉讼依法审理，并由同一审判组织对未提出上诉的被告人的死刑判决进行复核，作出是否同意判处死刑的裁判。故高级人民法院依照第二审审判程序对附带民事判决部分进行审理，对被告人周某依复核程序进行复核，对被告人刘某依死缓复核程序进行核准。
3.《刑事诉讼法解释》第344条第l项规定：“报请最高人民法院核准死刑案件，应当按照下列情形分别处理：中级人民法院判处死刑的第一审案件，被告人未上诉、人民检察院未抗诉的，在上诉、抗诉期满后十日内报请高级人民法院复核。高级人民法院同意判处死刑的，应当在作出裁定后十日内报请最高人民法院核准;不同意的，应当依照第二审程序提审或者发回重新审判。”
《最高人民法院关于复核死刑案件若干问题的规定》第7条规定：“一案中两名以上被告人被判处死刑，最高人民法院复核后，认为其中部分被告人的死刑裁判认定事实不清、证据不足的，对全案裁定不予核准，并撤销原判，发回重新审判;认为其中部分被告人的死刑裁判认定事实正确，但依法不应当判处死刑的可以改判并对其他应当判处死刑的被告人作出核准死刑的判决。”
4.修订后的《刑事诉讼法》第251条规定：“下级人民法院接到最高人民法院执行死刑的命令后，应当在7日以内交付执行。但是发现有下列情形之一的，应当停止执行，并且立即报告最高人民法院，由最高人民法院作出裁定：
(一)在执行前发现判决可能有错误的;
(二)在执行前罪犯揭发重大犯罪事实或者有其他重大立功表现，可能需要改判的;
(三)罪犯正在怀孕。
前款第一项、第二项停止执行的原因消失后，必须报请最高人民法院院长再签发执行死刑的命令才能执行;由于前款第三项原因停止执行的，应当报请最高人民法院依法改判。”
最高人民法院《关于适用停止执行死刑程序有关问题的规定》第2条规定：“下级人民法院在接到最高人民法院执行死刑命令后、执行前，发现有刑事诉讼法第二百五十一条第一款、第二百五十二条第四款规定的情形的，应当暂停执行死刑，并立即将请求停止执行死刑的报告及相关材料层报最高人民法院审批。”