(1)由原方程dy/dx=1-x+y²-xy²,变形得dy/dx=(1+y²)(1-x)。
分离变量并积分得∫[1/(1+y²)]dy=∫(1-x)dx,即arctany=x-x²/2+C。
(2)由正弦函数的和差公式可得sin[(x±y)/2]=sin(x/2)cos(y/2)±cos(x/2)sin(y/2),则原方程可变形为dy/dx=-2cos(x/2)sin(y/2)。
分离变量并积分得∫csc(y/2)dy=-2∫cos(x/2)dx,即ln,csc(y/2)-cot(y/2),=-2sin(x/2)+C₁,
(3)由原方程变形为
令u=y/x,则有dy/dx=u+xdu/dx,故上式为
积分得
将u=y/x代入并整理得
(4)由原方程变形得y′-ytanx=sec³x,则
(5)由原方程变形为dx/dy-(1/2y)x=-1,则
(6)由原方程整理可变形为dy/dx-(1/x)y=(1+lnx)y³,令z=y^-2,则方程变为dz/dx+(2/x)z=-2(1+lnx),故
即1/y²=C/x²-(2xlnx)/3-4x/9。