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方阵中,不能与对角阵相似的是().

单选题
2022-01-10 00:23
A、 ["["
C、 零矩阵
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正确答案
D

试题解析
(A)与(C)都是对称阵,它们必定能与对角阵相似.(B)中矩阵有3个不同特征值,它必定能与对角阵相似.故选(D).记(D)中矩阵为A,它的特征值λ=λ0、λ0,求特征向量相当于解齐次线性方程组(A-λ0E)x=0.由于R(A-λ0E)=1,因此基础解系由1个解向量组成.这表明2阶方阵A仅含1个线性无关的特征向量,A不能与对角阵相似.说明A不能与对角阵相似也可以用反证法来处理.由于A的特征值A=λ0、λ0,因此,如果A能与对角阵相似,那么必定存在可逆阵P,使得P-1AP=Λ,其中.于是,.这与已知A≠λ0E相矛盾.

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