(1)构造函数h(x)=f(x)-g(x),由f(a)=g(a),f(b)=g(b)可知,h(a)=h(b)=0。可设f(x),g(x)在(a,b)内的最大值M,分别在α∈(a,b),β∈(a,b)处取得。
当α=β时,令η=α,则h(η)=0;
当α≠β时,h(α)=f(α)-g(α)=M-g(α)≥0,h(β)=f(β)-g(β)=f(β)-M≤0。由介值定理可知,存在介于α和β之间的点η使得h(η)=0。综上所述,∃η∈(a,b),使得h(η)=0。
(2)根据罗尔定理可知,∃ξ₁∈(a,η),∃ξ₂∈(η,b),使得h′(ξ₁)=h′(ξ₂)=0。再由罗尔定理可知,∃ξ∈(ξ₁,ξ₂)⊂(a,b),使得h″(ξ)=0,即f″(ξ)=g″(ξ)。