(1)设矩阵A、B分别相似于Λ₁、Λ₂,即存在可逆矩阵P₁,P₂,使P₁^-1AP₁=Λ₁,P₂^-1BP₂=Λ₂。所以有
即存在可逆矩阵,使
故C相似于对角矩阵。
(2)若A、B都是正交矩阵,则A^TA=AA^T=E_m,B^TB=BB^T=E_n。所以有
即是正交矩阵。
反之,若是正交矩阵,则
从而A^T=A^-1,B^T=B^-1,故A、B都是正交矩阵。
(3)设A、B均为正定矩阵,它们的特征值分别为λ₁,λ₂,…,λ_m和μ₁,μ₂,…,μ_n,则λ_i>0(i=1,2,…,m),μ_i>0(i=1,2,…,n),且存在可逆矩阵P₁,P₂,使
所以有A=P₁Λ₁P₁^-1,B=P₂Λ₂P₂^-1,
记,则,Q,=,P₁,·,P₂,≠0。故存在可逆矩阵Q,使C=QΛQ^-1,其中Λ为主对角线上的元素全大于0的对角矩阵,因此C为正定矩阵。