证明方程a1/（x－λ1）＋a2/（x－λ2）＋a3/（x－λ3）＝0在（λ1，λ2）及（λ2，λ3）内各有唯一实根。其中a1、a2、a3均为大于0的常数，λ1＜λ2＜λ3。 -题库考试答案搜索网

证明方程a1/（x－λ1）＋a2/（x－λ2）＋a3/（x－λ3）＝0在（λ1，λ2）及（λ2，λ3）内各有唯一实根。其中a1、a2、a3均为大于0的常数，λ1＜λ2＜λ3。

问答题

2022-01-11 19:38

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正确答案

解决根的问题,可构造函数再讨论其零点个数。
构造函数f(x)=a₁(x-λ₂)(x-λ₃)+a₂(x-λ₁)(x-λ₃)+a₃(x-λ₁)(x-λ₂)。
则f(x)在[λ₁,λ₂]和[λ₂,λ₃]上连续,由a_i>0(i=1,2,3),且λ₁<>₂<>₃,知f(λ₁)>0,f(λ₂)<0,f(λ₃)>0。
故∃ξ₁∈(λ₁,λ₂),ξ₂∈(λ₂,λ₃),使f(ξ_i)=0,(i=1,2)。
则ξ₁和ξ₂是方程a₁(x-λ₂)(x-λ₃)+a₂(x-λ₁)(x-λ₃)+a₃(x-λ₁)(x-λ₂)=0的根。由于该方程是一个关于x的二次方程,最多只可能有两个实根,则这两个根分别是两个区间内的唯一实根。

试题解析

标签：考研公共课数学

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证明方程a1/（x－λ1）＋a2/（x－λ2）＋a3/（x－λ3）＝0在（λ1，λ2）及（λ2，λ3）内各有唯一实根。其中a1、a2、a3均为大于0的常数，λ1＜λ2＜λ3。

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