设n阶矩阵A＝（aij）的特征值为λ1，λ2，…，λn，试证：λ1＋λ2＋…＋λn＝a11＋a22＋…＋ann（称为A的迹），且|A|＝λ1·λ2…λn。 -题库考试答案搜索网

设n阶矩阵A＝（aij）的特征值为λ1，λ2，…，λn，试证：λ1＋λ2＋…＋λn＝a11＋a22＋…＋ann（称为A的迹），且|A|＝λ1·λ2…λn。

问答题

2022-01-11 19:38

查看答案

正确答案

矩阵A的特征多项式为

则,A-λE,可拆成2ⁿ个行列式之和,其中含λⁿ^-¹的行列式共有n个,即是:

n个行列式之和为(-1)ⁿ^-¹(a₁₁+a₂₂+…+a_nn)λⁿ^-¹,即a₁=(-1)ⁿ^-¹(a₁₁+a₂₂+…+a_nn)。令A的特征多项式f(λ)中λ=0得,a_n=,A-0E,=,A,。
由矩阵A有n个特征值λ₁,λ₂,…,λ_n,知方程f(λ)=0的n个根为λ₁,λ₂,…,λ_n,故
f(λ)=(λ₁-λ)(λ₂-λ)…(λ_n-λ)=(-1)ⁿλⁿ+(-1)ⁿ^-¹(λ₁+λ₂+…+λ_n)λⁿ^-¹+…+λ₁λ₂…λ_n
所以有a₁₁+a₂₂+…+a_nn=λ₁+λ₂+…+λ_n,a_n=,A,=λ₁λ₂…λ_n。

试题解析

标签：考研公共课数学

感兴趣题目

微分方程y″＋（λ1＋λ2）y′＋λ1λ2y＝0（λ1≠λ2且为实数），满足y（0）＝0，y′（0）＝1的特解为____。

微分方程y″＋（λ1＋λ2）y′＋λ1λ2y＝0（λ1≠λ2且为实数），满足y（0）＝0，y′（0）＝1的特解为（　　）。

证明方程a1/（x－λ1）＋a2/（x－λ2）＋a3/（x－λ3）＝0在（λ1，λ2）及（λ2，λ3）内各有唯一实根。其中a1、a2、a3均为大于0的常数，λ1＜λ2＜λ3。

已知对称形式原问题（MAX）的最优表中的检验数为（λ1，λ2，...，λn），松弛变量的检验数为（λn+1，λn+2，...，λn+m），则对偶问题的最优解为（）

设α1=（1+λ，1，1），α2=（1，1+λ，1），α3=（1，1，1+λ），若β=（0，λ，λ2）可以由αl、α2、α3线性表示且表示法是唯一的，则λ应满足的条件是____．

炉墙平壁用两层同样厚度的保温材料保温，两种材料的导热系数分别为λ1、λ2（λ1＞λ2），λ1、λ2为常数，下列说法正确的是（　　）。

已知n阶可逆矩阵A的特征值为λ0，则矩阵（2A）-1的特征值是（　　）。[2012年真题]

已知n阶可逆矩阵A的特征值为λ0，则矩阵（2A）－1的特征值是（　　）。[2012年真题]

设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，ξ，η是A的分别属于λ1，λ2的特征向量，则以下选项中正确的是（　　）。

设λ1＝6，λ2＝λ3＝3为三阶实对称矩阵A的特征值，属于λ2＝λ3＝3的特征向量为ξ2＝（－1，0，1）T，ξ3＝（1，2，1）T，则属于λ1＝6的特征向量是（　　）。[2017年真题]

设某客观现象可用X=（x1，x2，x3）′来描述，在因子分析时，从约相关阵出发计算出特征值为λ1=1.754，λ2=1，λ3=0.255，由于（λ1+λ2）/（λ1+λ2+λ3）≥85％，所以找前两个特征值所对应的公共因子即可，又知λ1，λ2对应的正则化特征向量分别为（0.707，-0.316，0.632）’及（0，0.899，0.4470）’，要求：计算因子载荷矩阵A，并建立因子模型。