由AX=b有唯一解知r(A)=r(A,b)=n,因此AX=0只有零解.
若r(A^TA)<n,则方程组A^TAX=0有非零解,即存在X₀≠0使A^TAX₀=0.所以有,即AX₀=0.于是方程组AX=0有非零解,这与AX=0只有零解矛盾,故r(A^TA)=n,即A^TA可逆.
由AX=b得,A^TAX=A^Tb,有X=(A^TA)^-1A^Tb.
如果η₁,η₂,…,η_t是线性方程组AX=b的解,则u₁η₁+u₂η₂+…+u_tη_t也是AX=b的一个解.其中u₁+u₂+…+u_t=1.
因为η₁,η₂,…,η_t是AX=b的解,所以η₂-η₁,η₃-η₁,…,η_t-η₁是AX=0的解.
由u₁+u₂+…+u_t=1,得u₁=1-u₂-u₃…-u_t,所以有
u₁η₁+u₂η₂+…+u_tη_t=(1-u₂-u₃-…-u_t)η₁+u₂η₂+…+u_tη_t=η₁+u₂(η₂-η₁)+ u₃(η₃-η₁)+…+u_t(η_t-η₁)
即μ₁η₁+μ₂η₂+…+μ_tη_t也是AX=b的解.