设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx=0有解向量α，且Ak-1α≠0，证明：向量组α，Aα，…，Ak-1α是线性无关的。
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正确答案
证明:根据定义可设l
0α+l
1Aα+…+l
k-1A
k-1α=0
当k≥2时,左乘A
k-1得到
l
0A
k-1α+l
1A
kα+…+l
k-1A
2k-2α=0
因为A
kα=0,则l
0A
k-1α=0,但A
k-1α≠0,则l
0=0.
l
1Aα+…+l
k-1A
k-1α=0
类似,依次左乘A
k-1,A
k-2,…,得到l
1=…l
k-1=0.
因此当k≥2时,α,Aα,…,A
k-1α线性无关。当k=1时,A
k-1α≠0,则α≠0,向量
线性无关.
试题解析
