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[问答题]设n阶矩阵A有n个两两正交的特征向量，证的答案
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设n阶矩阵A有n个两两正交的特征向量，证明A是对称矩阵。
问答题
2022-01-09 23:53
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正确答案
设A的n个两两正交的特征向量为
α
(
→
)
1
,
α
(
→
)
2
,…,
α
(
→
)
n
,其对应的特征值依次为λ
1
,λ
2
,…,λ
n
。
令
ξ
(
→
)
i
=
α
(
→
)
i
/,
α
(
→
)
i
,(i=1,2,…,n),则
ξ
(
→
)
1
,
ξ
(
→
)
2
,…,
ξ
(
→
)
n
是两两正交的单位向量。
记P=(
ξ
(
→
)
1
,
ξ
(
→
)
2
,…,
ξ
(
→
)
n
),即P是正交矩阵。从而有P
-
1
=P
T
,P
-
1
AP=diag(λ
1
,λ
2
,…,λ
n
)=Λ,即A=PΛP
-
1
=PΛP
T
,故A
T
=(PΛP
T
)
T
=(P
T
)
T
Λ
T
P
T
=PΛP
T
=A,即A是对称矩阵。
试题解析
标签：
考研公共课
数学
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设A是n阶对称矩阵，B是n阶反对称矩阵，则下列矩阵中不一定能通过正交变换化成对角阵的是（）。
设A是m阶矩阵，B是n阶矩阵，行列式等于（）。
设A是m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B＝AC的秩为r1，则（ ）。
设A是m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B=AC的秩为r1，则（ ）.
设A是m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B＝AC的秩为r1，则（ ）。
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