设A、B均为n阶方阵，A有n个互异的特征值，且AB＝BA，证明：B相似于对角矩阵。 -题库考试答案搜索网

设A、B均为n阶方阵，A有n个互异的特征值，且AB＝BA，证明：B相似于对角矩阵。

问答题

2022-01-10 00:24

查看答案

正确答案

设矩阵A的n个不同特征值为λ₁,λ₂,…,λ_n,则存在可逆矩阵P,使P^-¹AP=diag(λ₁,λ₂,…,λ_n),由AB=BA得(P^-¹AP)(P^-¹BP)=P^-¹APP^-¹BP=P^-¹ABP=P^-¹BAP=(P^-¹BP)(P^-¹AP)。
令P^-¹BP=(c_ij)_n_×_n,则有

比较两边元素则有λ_ic_ij=λ_jc_ij(i、j=1,2,…,n)。
当i≠j时,有λ_i≠λ_j。由上式得(λ_i-λ_j)c_ij=0,即c_ij=0(i、j=1,2,…,n;i≠j)。故

即B相似于对角矩阵。

试题解析

标签：考研公共课数学

感兴趣题目

设A、B都是满秩的n阶方阵，则r（AB）＝（　　）。

设A、B均为n阶方阵，A有n个互异的特征值，且AB＝BA，证明：B相似于对角矩阵。

设A、B均为n阶方阵，A有n个互异的特征值，且AB=BA，证明:B相似于对角矩阵.

设A为n阶方阵，若对任意n×m（m≥n）矩阵B都有AB＝0，则A＝（　　）。

设A，B是n阶方阵，且AB=O．则下列等式成立的是（）．

设A、B、C均为n阶方阵，若A＝CTBC，且|B|＜0，则|A|____。

设A，N，A+B，A-1+B-1均为n阶可逆矩阵，则（A-1+B-1）=（）。

设A、B、C均为n阶方阵，若A＝CTBC，且|B|＜0，则|A|（　　）。

设A、B、C均为n阶方阵，若A＝CTBC，且|B|＜0，则|A|＝（　　）。

A为m阶方阵，B为n阶方阵，且|A|＝a，|B|＝b，，则|C|＝____。

A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使AB=BA=A，则_________。