第一次数学危机：公元前六世纪，毕达哥拉斯悖论：无理数的发现。欧多克索斯的解决方式，是借助几何方法，避免直接出现无理数；无理数的使用在几何中是允许的，合法的，在代数中就是非法的，不合逻辑的。第二次数学危机：十七世纪，贝克莱悖论：“无穷小量究竟是否为0”的问题：无穷小量在当时实际应用而言，它必须既是0，又不是0。从形式逻辑而言，这无疑是一个矛盾。极限理论、实数理论和集合论三大理论的完善，微积分学坚实牢固基础的建立。第三次数学危机：十九世纪下半叶，罗素悖论：罗素构造了一个集合S：S由一切不是自身元素的集合所组成，康托尔集合论是有漏洞的。公理化集合系统的建立，成功排除了集合论中出现的悖论。