设s个线性无关的n维向量为
α
1=(a
11,a
12,…a
1n)
T, α
2=(a
21,a
22,…a
2n)
T,…,α
s=(a
s1,a
s2,…a
sm)
T方程组(Ⅰ)
由于β
1,β
2,…,β
r线性无关,所以方程组(Ⅰ)的系数矩阵的秩为s,且(Ⅰ)的基础解系含n-s=r个解向量.
设β
1=(b
11,b
12,…b
1n)
T, β
2=(b
21,b
22,…b
2n)
T,…,β
s=(b
r1,b
r 2,…b
rn)
T 为(Ⅰ)的一个基础解系,则方程组(Ⅱ)
的基础解系含n-r=s个解向量.
由于α
1,α
2,…,α
s是(Ⅰ)的解,即
又B
TA
T=0,知α
1,α
2,…,α
s是方程组(Ⅱ)的解,故是(Ⅱ)的基础解系.
